Tangente und Normale

TangenteDieses Unterprogramm ergänzt die analytische Diskussion einer Funktion durch die Ermittlung der Tangente und Normale an eine beliebige Funktion in zwei Punkten (x1 ; f(x1)) und (x2 ; f(x2)).

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve bzw. Funktion in einem Punkt berührt, d.h. die Tangente und die Kurve haben den gleichen Anstieg. Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente an einen Graphen durch deren Berührungspunkt verläuft.

Nach Eingabe der Funktion Y = und der Abszissenwerte x1 und x2 der gewünschten Punkte differenziert das Programm diese Funktion nach Wahl des Schalters Berechnung zweimal und ermittelt Anstieg, Anstiegswinkel, Abstand zum Koordinatenursprung und Gleichung der evtl. bei dieser Abszisse existierenden Tangenten und Normalen. Zusätzlich erhalten Sie die Gleichung und den Anstiegswinkel der Sekante, welche von den Funktionspunkten mit den Abszissen x1 bis x2 gebildet wird. Für alle diese Geraden werden auch die Nullstellen berechnet.

Hat eine der beiden Geraden einen unendlichen Anstieg, d.h., der Graph der Funktion ist parallel zur y-Achse, ist die Funktion an dieser Stelle nicht mehr differenzierbar. Dieser Sonderfall wird nicht ermittelt.

In die Eingabefelder x1 und x2 können Sie neben numerischen Werten auch Terme der Form PI, SIN(1), SQRT(3) oder PI/2 eingeben. Für das symbolische Differenzieren gelten die zum Unterprogramm Funktionsdiskussion gemachten Bemerkungen.

Bei Auswahl des Schalters Funktion darstellen können Sie diese Funktion sowie optional die jeweils zwei Geraden darstellen. Die darzustellenden Objekte wählen Sie dadurch aus, dass Sie eine berechnete Tangenten- oder Normalengleichung markieren. Per Mausklick markierte Einträge werden in der grafischen Darstellung gezeichnet.

Markieren Sie Punkte zeichnen, so werden die Punkte P(x1 , f(x1)) und Q(x2 , f(x2)) in der grafischen Darstellung angezeigt.

Tangente von Punkt außerhalb der Funktion an diese

Zu den anspruchsvolleren Aufgaben der Funktionsuntersuchung gehört die Ermittlung von Geraden, die zum einen Tangenten an eine Funktion f(x) sind und zusätzlich durch einen Punkt P außerhalb der Funktion verlaufen. Insbesondere in der Sekundarstufe II der gymnasialen Ausbildung ist diese Aufgabenstellung ein beliebtes Thema für Klausuren und Abiturprüfungen.

Markieren Sie das Schaltfeld Tangenten vom Punkt (x,y) an die Funktion und geben Sie in die Felder für x und y Koordinaten ein, sucht das Programm nach derartigen Geraden, die zum einen durch den Punkt P(x,y) verlaufen, zum anderen Tangenten der eingegebenen Funktion darstellen, also die Funktion berühren.

Auf Grund der Umsetzung als allgemeine Lösung für die Problemstellungen erhalten Sie stets Näherungslösungen. Dabei sucht das Programm im voreingestellten Intervall [-5;5] nach Berührungspunkten an die Funktion. Möchten Sie ein anderes Suchintervall nutzen, so tragen Sie unter Diskussion von … bis einen geänderten Wert ein.

Nach Betätigung des Schalters für die grafische Darstellung werden die markierten, durch den Punkt P verlaufenden gefundenen Tangenten in die grafische Darstellung eingezeichnet.

Beispiel: Für die Funktion Y=SIN(X)+X und den Punkt P(0;2) außerhalb der Funktion findet das Programm bei einer Intervallbreite von 10 drei Berührungspunkte für Tangenten und die Tangentengleichungen:

Berührungspunkt Tangentengleichung
(-4.9215 ; -3.943) Y = 1.2076 · X +2
(2.1424 ; 2.983) Y = 0.459 · X +2
(3.9517 ; 3.227) Y = 0.3106 · X + 2
(-7.4513 ; -8.371) Y = 1.3919 · X + 2
(7.9806 ; 8.973) Y = 0.8737 · X +2

Dabei werden die letzten beiden Tangenten der Tabelle berechnet, wenn Sie die Intervallbreite auf 20 setzen.

Normale von Punkt außerhalb der Funktion an diese

Zur Ergänzung der Möglichkeit, Tangenten von außen an eine Funktion zu legen, können Sie bei Markierung des Feldes Normalen vom Punkt (x,y) an die Funktion in Analogie die Normalen von diesem Punkt ausgehend berechnen und darstellen lassen.

Die oben gemachten Hinweise gelten entsprechend. Für das Beispiel Y = SIN(X) + X und den Punkt P(0;2) ermittelt das Programm nur eine Normale, die Gerade Y = -0.5905·X+2.