Unstetigkeitsstellen

UnstetigkeitsstellenEine Funktion f(x) heißt an einer Stelle x0 stetig, wenn zum einen die Funktion an dieser Stelle definiert ist und zum anderen der Grenzwert gegen x0 existiert und gleich dem Funktionswert ist. Anschaulich könnte man sagen, dass die Funktion immer dann stetig ist, wenn man beim Zeichnen des Funktionsgraphen auf Papier den Stift nicht absetzen muss. Ist dies nicht möglich, so treten Unstetigkeitsstellen auf.

Viele in der Schulmathematik untersuchte Funktionen sind stetig, aber es werden auch Funktionen behandelt, die Unstetigkeitsstellen besitzen. Dies können zum Beispiel Polstellen, Sprünge aber auch Lücken sein. Für diese gilt:

  • Lücke, Hebbare Lücke … die Funktion ist an der Stelle x0 nicht definiert, besitzt aber den Grenzwert x → x0, d.h. links- und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich
  • Sprung … die Funktion ist an der Stelle x0 definiert, jedoch sind die links- und rechtsseitigen Grenzwerte verschieden
  • Polstelle … die Funktion ist an der Stelle x0 nicht definiert und die links- und rechtsseitigen Grenzwerte sind uneigentliche Grenzwerte

Besonders gebrochenrationale Funktionen der Struktur

    \[ f(x)=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x-e} \]

weisen, je nach den Parametern a bis e, solche Unstetigkeitsstellen auf. In diesem Teilprogramm können Sie diese Funktionsgruppe untersuchen. Setzen Sie a = 0, so reduziert sich die Gleichung auf

    \[ f(x)=\frac{bx^2+cx+d}{x-e} \]

An den fünf Rollbalken stellen Sie den Wert des jeweiligen Parameters ein. Das Programm zeichnet daraufhin sofort den Funktionsverlauf, ermittelt die Art und Lage der Unstetigkeitsstelle sowie das Verhalten der Funktion im Unendlichen.
Markieren Sie das Feld quadratischer Nenner, werden Funktionen der Form

    \[ f(x)=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{(x-e)^2} \]

untersucht.

Zusätzlich können Sie sich die Asymptoten bzw. die Hüllkurve der Funktion einzeichnen lassen.
Eine spezielle Form der Unstetigkeitsstellen sind Lücken im Funktionsgraphen. Diese treten dann ein, wenn die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist, der Grenzwert aber existiert.

Hebbare UnstetigkeitsstelleIm Beispiel besitzt die Funktion y=\frac{x^2-x}{x-1} bei x0 = 1 eine solche Lücke. Da die Funktionsdefinition durch Y = 1 für X = 1 erweitert werden kann, ohne den restlichen Funktionsverlauf zu stören, nennt man derartige Unstetigkeitsstellen hebbar. Diese werden besonders ausgewiesen.