Vierecke, Kreise

ViereckeDieses Teilprogramm ermöglicht die Berechnung und Darstellung von ebenen Flächen. Zuerst wählen Sie in der rechten Liste eine der vorgegebenen Flächen:

  • Rechteck, Parallelogramm, Trapez, Drachenviereck, Rhombus, allgemeines Viereck
  • Kreis, Kreissektor und –segment
  • Ellipse und Ellipsensektor

Auf der linken Fensterseite finden Sie dann Eingabezeilen sowie Steuerelemente für die grafische Darstellung. Die Koordinatenachsen und das Gitter können Sie über die Schalter in der oberen Schalterleiste zu- und abschalten.

Berechnungen an Vierecken
Je nach Wahl des Vierecks sind folgende Größen einzugeben:

  • Rechteck … Seiten a, b
  • Parallelogramm … Seiten a, b, Höhe h
  • Trapez … Seiten a, c, Höhe h, Winkel α
  • Drachenviereck … Seiten a, c, Winkel α, der Winkel zwischen den Strecken AB und AC
  • Rhombus … Seitenlänge a und Winkel α
  • Allgemeines Viereck … Seitenlängen a, b, c und d, Winkel α bei Eckpunkt A

Ermittelt werden jeweils die Längen der Diagonalen, der Flächeninhalt und der Umfang, verschiedene Winkel, beim allgemeinen Viereck auch die anderen vier Innenwinkel.

Zusätzlich stellt das Programm das eingegebene Viereck dar. Über die Schalter auf der linken Seite stellen Sie den Maßstab der Darstellung ein. Auf der Darstellungsfläche befindet sich ein gelb markierter Punkt, der Koordinatenursprung, der sich durch Anklicken und Bewegen mit der Maus frei verschieben lässt. Auf Wunsch werden auch die Diagonalen der Vierecke eingezeichnet.

Berechnungen am Kreis
Nach Eingabe von Radius r, Fläche A oder Umfang u eines Kreises werden die jeweils anderen Größen berechnet. Tragen Sie für Kreissektor und -segment zusätzlich einen Winkel ein, ermittelt dieses Unterprogramm die Bogenlänge b, die Länge der Sehne s sowie die Flächeninhalte des zugehörigen Kreissegments und -sektors.

Berechnungen an der Ellipse
Für die Ellipse müssen zwei der fünf Größen große Halbachse a, kleine Halbachse b, lineare Exzentrizität e, numerische Exzentrizität und die Fläche eingegeben werden: Flächeninhalt: A = π ab
Die drei fehlenden Größen sowie den Umfang und den Halbparameter p ermittelt das Programm. Zum Ellipsenumfang ist zu bemerken, dass dieser nicht vollständig analytisch darstellbar ist.

Hierfür gilt: Umfang: U = 4a E(e), wobei E(e) das vollständige elliptische Integral zweiter Gattung ist, d.h. nicht auflösbar. Deshalb ist die Nutzung von Näherungsformeln notwendig (die erste Gleichung wird in diesem Programm genutzt):

    \[ U=\pi (\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab}) \enspace ; \enspace u=1.38 \pi \sqrt{a^2+b^2} \]

Beispiel: Bei Eingabe von a = 3 und lineare Exzentrizität e = 2 erhalten Sie die Ergebnisse: Halbachse b = 2.2361, numerische Exzentrizität 0.6667, Flächeninhalt A = 21.0744, Umfang u = 16.5367, Halbparameter p = 1.6667.

Wählen Sie Ellipsensektor, so sind die Halbachsen der Ellipse und die beiden Winkel einzugeben, die den Sektor beschreiben. Außer den Ellipsenwerten werden auch die Länge des Sektorbogens und der Flächeninhalt des Sektors berechnet.