Zykloide

ZykloideEin im 16.-17. Jahrhundert sehr beliebtes Problem der Mathematik war die Frage nach der Form von Kurven, die entstehen, wenn ein Kreis auf einer anderen Kurve abrollt.

Rollt ein Kreis auf einer Geraden ab, so entsteht eine sogenannte Zykloide. Auch hier können Sie Parameter verändern.

Über den Rollbalken Kreisradius stellen Sie die Größe des rollenden Kreises ein, mit Verschiebung den Abstand des Kurven erzeugenden Punktes vom Mittelpunkt des Kreises. In der Abbildung rollt ein Kreis mit dem Radius 30 bei einer Verschiebung von 25 auf der Geraden ab. Markieren Sie das Feld Kurve anzeigen, so wird die entstehende Gesamtkurve dargestellt.

ZykloidenanimationWählen Sie nun Simulation, beginnt das Programm den Kreis abrollen zu lassen und konstruiert so die gewählte Zykloide.

Zykloiden wurden intensiv 1599 von Galilei untersucht. Dabei versuchte er mittels Metallstücken in Form von Zykloiden die Flächeninhalte unter Kurven zu bestimmen.
Für eine positive Verschiebung entsteht eine verlängerte Zykloide, für negative Verschiebungen eine verkürzte Zykloide. Beide werden auch Trochoide genannt.

Erste Studien der Zykloide gehen auf Charles Bouvelles 1501 zurück, der auch den Namen (griechisch „κυκλος“ = „Kreis“) prägte. Den Wert der Fläche unter der Kurve (3πa²) gaben Torricelli und später Fermat und Descartes an. Roberval (1634) und Wren (1658) ermittelten die Länge eines Zykloidenbogens zu 8a.

1692 zeigte Jakob Bernoulli, dass die Zykloide die Katakaustik eines Kreises ausgehend von einem Punkt auf der Kreisperipherie ist. 1696 wies Johann Bernoulli nach, dass die Zykloide das Brachistochron-Problem löst.

Beim Brachistochronen-Problem wird gefragt, auf welcher Bahnkurve sich ein Massenpunkt reibungsfrei von einem oberen zu einem unteren Punkt in kürzester Zeit bewegen kann. Der Name der Kurve ergibt sich aus dem griechischen „brakhisto“ = „am kürzesten“ und „chronos“ = „Zeit“. Erstaunlicherweise kann sich der Punkt auf einer Kurve bewegen, die sogar unterhalb des Zielpunktes verläuft, einer Zykloiden.a101Ein Fahrzeug könnte sich auf einer Straße in Zykloidenform völlig waagerecht bewegen. Allerdings müssten die Räder dann Kardioiden sein.