Seil-Paradoxon

Eine berühmte Aufgabe, das Seil-Paradoxon, mit einer verblüffenden Lösung, ist:

Man spannt ein Seil ganz straff um die Erde und verlängert es um 1 Meter. Wie weit kann das Seil dann in einer Richtung nach oben gezogen werden?

Seil-ParadoxonDas Seil tangiert im Punkt P die Erdkugel. Damit ist die Strecke vom Mittelpunkt M nach P senkrecht zum Seilstück Y und das entsprechende Dreieck ist rechtwinklig. Aus dem Satz des Pythagoras folgt:

Y = √((R+h)² – R²)

Außerdem hat der zugehörige Kreissektor A die Bogenlänge

b = R  arccos ( R/(R+h) )

Da das Seil genau 1 Meter länger als der Erdumfang ist, gilt

Y – 1/2 = b

und damit die allgemeine Lösung mit einer Seilverlängerung um a für die erreichbare Höhe h:

√( (R+h)² – R²) – 1/2 = R · arccos ( R/(R+h) )

Die Gleichung ist analytisch nicht auflösbar. Mit einem Näherungsverfahren ergibt sich für die Erde (R=6378 km) eine Höhe h = 121,505 m !!!
Weitere Höhen h sind für weitere Radien:

Radius Höhe in m Radius Höhe in m
1 m 0,78 2 m 0,93
10 m 1,47 100 m 3,07
1 km 6,56 10 km 14,11
100 km 30,12 1000 km 65,52
10000 km 141,16 100000 km 304,11
1 Million km 655,19 10 Million km 1411,55

Es ist paradox. Es vergrößert sich die maximal erreichbare Höhe, wenn der Radius der umschlossenen Kugel größer wird.

Delphi-Quelltext zur näherungsweisen Lösung der Gleichung:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
const r=6378000.0; //hier Radius eingeben
var x,dx:extended;
function funktion(x:extended):extended;
begin
 result:=1/2+r*arccos(r/(r+x))-sqrt(sqr(r+x)-sqr(r));
end;
begin
  x:=1;
  dx:=1;
  repeat
    dx:=0.01*funktion(x)/(funktion(x+0.01)-funktion(x));
    x:=x-dx;
    listbox1.items.add(floattostr(x)+#9+floattostr(funktion(x)));
  until abs(funktion(x))<1e-6;
end;

Anmerkung: Für ein Quadrat mit dem Umfang der Erde (40000 km) führt die gleiche Aufgabenstellung zu einer Seilhöhe von rund √5 km über einer der Quadratseiten !!!

f25cWeitere Lösungsmöglichkeit

Durch Hans-Jürgen Caspar wurde auf „Matroids Matheplanet“ eine sehr schöne, alternative Lösung ohne Verwendung eines Programms zur Bestimmung der Näherungslösung vorgeschlagen. Für die Höhe h wird

h = √ (R² + Y²) -R        (*)

Für den Kreisbogen zwischen den Tangentialpunkten ergibt sich

bo = 2R ·  arctan Y/R

für den verbleibenden, unteren Kreisbogen

bu =2π r – 2R · arctan Y/R

Die Gesamtseillänge ist

l = 2π r – 2R ·  arctan Y/R + 2 Y = 2π r +1 m

und da 1 m länger als der Umfang der Kugel, somit

Y – R · arctan Y/R  = 0,5 m

Anwendung der Taylorreihe für den Arkustangens bis zur 2.Näherung ergibt

Y – R (Y/R – Y³/(3 R³)) = 0,5 m
Y³ = 3/2 R² · 1 m

Damit kann aus dem Radius das Tangentialstück Y und anschließend über (*) die Höhe berechnet werden.


Seil-Paradoxon 2Die einfachere Aufgabe, da mit Schulmathematik lösbar, ist:

Wie weit steht das Seil ab, wenn es überall gleichweit von der Äquatorlinie entfernt sein soll? Passt unter dem Seil eine Maus durch?

Aus u = 2π r wird u+1 = 2π (r+h) , d.h. 1 = 2π h und somit eine Höhe von rund 16 cm.
Da passt auch eine Katze durch!