Zahl 17

17 ist die siebente Primzahl, dritte Fermat-Primzahl und ebenso Mersennesche Primzahl; verbunden mit der 6.vollkommenen Zahl 8589869056.

17_1Im Alter von 17 Jahren bewies Gauß, dass man ein reguläres Polygon nur dann mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, wenn diessen Seitenzahl gleich einem Produkt aus lauter verschiedenen Fermatschen Primzahlen der Form 2^2^n +1 ist. Daraus folgt, dass man das reguläre Siebzehneck mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Gauß hielt die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks mit Zirkel und Lineal für eine seiner wichtigsten Entdeckungen.
Auf dem Sockel des Gauß-Denkmals in Braunschweig sieht man einen Stern in einem regelmäßigen Siebzehneck (Abbildung).

17 ist die einzige Primzahl, welche sich als Summe vier aufeinanderfolgender Primzahlen darstellen lässt: 17 = 2 + 3 + 5 + 7.
17 ist die kleinste Zahl, für welche die Summe der Ziffern ihrer Kubikzahl gleich der Zahl selbst ist: 17³ = 4913, 4 + 9 + 1 + 3 = 17. (Die größte derartige Zahl ist 27)
17 ist ebenso die kleinste Zahl, welche auf zwei verschiedene Arten als Summe eines Quadrates und einer Kubikzahl dargestellt werden kann: 17 = 3² + 2³ = 4² + 1³. Außerdem ist 17 die einzige Primzahl der Form pq + qp, mit primen p und q, p = 2, q = 3.
Das Paar (8, 9) ist das einzige Paar aufeinanderfolgender Zahlen, von denen eine Quadrat und eine Kubus ist (Beweis durch Euler).
Der Term n² + n + 17 ist für alle n = 0 bis 15 Primzahl. Weiterhin ist
17 x 65 359 477 124 183 = 1 111 111 111 111 111
17² = 8² + 15² (pythagoreisches Tripel) = 1³ + 2³ + 4³ + 6³ = 00 + 11 + 2² + 3³ + 44
174 = 83521 = (8 + 3 + 5 + 2 – 1)4
176 = 24137569 = (24 – 13 + 75 – 69)6
Zahlen der Form abcdefghabcdefgh sind durch 17 teilbar, da 100000001 ein Vielfaches von 17 ist.

17_2Weiterhin existieren genau 17 ebene Kristallgruppen, d.h. Ornamentgruppen (engl. wallpaper groups)
In der Alhambra findet man 17 verschiedene Parkettarten, d.h. alle möglichen.
Abbildung: Ornamentgruppen

Die 17 ist eine „psychologische“ Zahl. Fordert man Leute auf, eine beliebige Zahl zwischen 1 und 20 zu nennen, wird die 17 überdurchschnittlich oft genannt.
Sehr beliebt sind psychologische Zahlen bei Schriftstellern aber auch in Filmen. Wird eine etwas größere Zahl benötigt, der allerdings keine besondere Bedeutung beigemessen werden soll (z.B. die 13 als „Unglückszahl“), verwendet man gern diese Zahlen, darunter sehr oft die 17.

Ein Hyperwürfel muss entlang von 17 Flächen zerschnitten werden um in ein dreidimensionales Kreuz zu zerfallen.
Im orientalischen Kamelproblem treten 17 Kamele auf. In der japanischen Gedichtform Haiku werden 17 Silben verwendet.

Die Pythagoräer hatten; nach Plutarch; Angst vor der 17, weil sie zwischen 16 und 18 liegt, die die einzigen Werte sind, für die der Umfang eines Rechtecks gleich dessen Fläche ist.
In Frankreich und vor allem Italien bringt Freitag der 17. Unglück, so entschloss sich einst Napoleon seinen Staatsstreich vom 17. auf den 18.Brumaire der Jahres 1799 zu verschieben.
Die italienische Fluggesellschaft Alitalia hat in ihren Flugzeugen keine Reihe 17, italienische Gebäude haben kein 17.Stockwerk, in Hotels wird das Zimmer 17 mit 16bis bezeichnet. Es wurde niemals ein Renault 17 verkauft – er wurde zu 117 umgetauft!
Der Grund für die Ablehnung der 17 stammt aus dem Latein. Die Zahl XVII kann in VIXI umsortiert werden, was „verstorben“ bedeutet.
Die Angst vor der 17 wird Heptadekaphobie bzw. Heptakaidekaphobie genannt.

17_3In den USA leben Singzikaden, die sich nur alle 13 oder 17 Jahre paaren. Beispielsweise verlässt die Siebzehnjahr-Zikade (Magicicada septendecim. Abbildung) erst nach genau 17 Jahren ihr unterirdisches Versteck, um sich in einem Zeitraum von etwa drei Wochen zu vermehren.

Die mystische Bedeutung der Zahl 17 findet man u.a. in der Bibel. Am 17.Tag des 2.Monats begann die Sintflut und endete am 17.Tag des siebenten Monats. Es ist 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17² = 666, die „Zahl des Tieres“.
Odysseus trieb 17 Tage auf einem Floß, nachdem er Kalypso verlassen hatte. Der persische Prophet Zarathustra verfasste in den „Gatahs“ 17 visionäre Hymnen.

Mit Trick 17 beschreibt man Lösungswege bei Problemen, die originell, speziell oder einfach nur verblüffend sind. In der Schweiz sagt man aber Trick 77.
17 als Alter kurz vor der Volljährigkeit ist in Schlagern der Nachkriegszeit das symbolische Alter beinah erwachsener Mädchen und findet sich in Titeln wie „Mit 17 hat man noch Träume“, „Siebzehn Jahr, blondes Haar“ und ähnlichen „Werken“. Der Beatles-Titel „I saw her standing there“ hieß ursprünglich „Seventeen“.
Bei einem Lächeln werden 17 Muskeln bewegt. 🙂 17 ist die kleinste natürliche Zahl, die im Französischen mit einem Bindestrich geschrieben wird: dix-sept.

Im Papyrus Rhind findet sich die Zerlegung 2/17 = 1/2 + 1/51 + 1/68, die allerdings falsch ist, der einzige(!) Fehler in diesem historischen Text.
17 ist die einzige Primzahl, die das arithmetische Mittel zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (13 und 21) ist. Keine ungerade Fibonacci-Zahl ist durch 17 teilbar.

17_4Der pflanzenfressende Stegosaurier (Stegosaurus armatus) hatte 17 Schildplatten auf dem Rücken und lebte etwa vor 157 bis 147 Millionen Jahre.
Heute sind nur noch 17 Originalkopien der Magna Carta bekannt.
Der Parthenon auf der Akropolis hat 8 Säulen in der Breite, aber 17 Säulen auf der längeren Seite.

Im 5.Jahrhundert v.u.Z. bewies Theodorus von Kyrene, dass alle Quadratwurzeln aus den ungeraden Primzahlen bis 17 irrational sind. Warum er bei 17 aufhörte, ist nicht bekannt.
Man vermutet, dass in einem klassischen Sudoku mindestens 17 Zahlen gegeben sein müssen, um eine eindeutige Lösung zu gewährleisten. 2009 ist dies noch nicht bewiesen.
Es gibt 17 verschiedene Standardformen der quadratischen Quadriken.

17-Punkte-Problem

Gegeben ist eine Strecke AB. Auf dieser wird ein Punkt P1 markiert. Nun wird ein zweiter Punkt P2 gesetzt, so dass er in der anderen Hälfte der Strecke AB liegt. Ein Punkt P3 wird so platziert, dass er in einem anderen Drittel als P1 und P2 liegt. Der vierte Punkt muss in einem anderen Viertel als die vorhergehenden Punkten liegen, usw.
Dieser Vorgang wird immer wieder durchgeführt.

Das Ergebnis ist erstaunlich. Es konnte bewiesen werden (Berlekamp 1970), dass maximal 17 Punkte gesetzt werden können, 18 oder mehr sind nicht möglich!
Steinhaus gab 1979 eine 14-Punkte-Lösung: 0,06; 0,55; 0,77; 0,39; 0,96; 0,28; 0,64; 0,13; 0,88; 0,48; 0,19; 0,71; 0,35 und 0,82. Erst 1976 fand Warmus die erste 17-Punkte-Lösung:

4/7 ≤ x1 ≤ 7/12 ; 2/7 ≤ x2 ≤ 5/17 ; 16/17 ≤ x3 ≤ 1 ; 1/14 ≤ x4 ≤ 1/13 ; 8/11 ≤ x5 ≤ 11/15 ; 5/11 ≤ x6 ≤ 6/13 ; 1/7 ≤ x7 ≤ 2/13 ; 14/17 ≤ x8 ≤ 5/6 ; 3/8 ≤ x9 ≤ 5/13 ; 11/17 ≤ x10 ≤ 2/3 ; 3/14 ≤ x11 ≤ 3/13 ; 15/17 ≤ x12 ≤ 11/12 ; 1/2 ≤ x13 ≤ 9/17 ; 0 ≤ x14 ≤ 1/17 ; 13/17 ≤ x15 ≤ 4/5 ; 5/16 ≤ x16 ≤ 6/17 ; 10/17 ≤ x17 ≤ 11/17