Flächenfunktionen

f31Dreidimensionale Funktionen (Flächenfunktionen) der Form

    \[ z = f(x,y) \]

d.h. Funktionen, welche Flächen im dreidimensionalen Raum als Funktionsdarstellung haben, können in diesem Unterprogramm definiert und untersucht werden. Der Funktionswert Z ist hier von zwei Variablen X und Y abhängig. Für die grafische Darstellung bietet sich ein dreidimensionales Koordinatensystem an. Derartige Funktionen bilden dabei im Allgemeinen gekrümmte Flächen.

    \[ \text{Beispiele: }z=\sin{(xy)}, z=x+y\cdot x^2 \]

Die vordefinierten Funktionsbeispiele können durch den Programmanwender verändert werden.
Soll Ihre Flächenfunktion mit einem Schnitt parallel zur x-y-Ebene versehen werden, so nutzen Sie den speziellen Maximum-Operator des Programms (siehe „Implementierte Funktionen“).

Zum Beispiel erhalten Sie mit der Definitionsgleichung

    \[ f(x,y)=\frac{12\cos{\frac{x^2+y^2}{4}}}{3+x^2+y^2} \]

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die Darstellung eines „Sombreros“. Mit

    \[ f(x,y)=\frac{12\cos{\frac{x^2+y^2}{4}}}{3+x^2+y^2}\le 0.2 \]

entsteht eine Funktion, bei der aber alle Punkte mit einer z-Koordinate größer als 0.2 auf genau 0.2 gesetzt werden. Dies bedeutet, dass die Flächenfunktion in einer Höhe von 0.2 mit einer Ebene parallel zur x-y-Ebene geschnitten wird.

Mit dem Schalter Darstellung werden die dreidimensionalen Funktionen f(x,y) grafisch veranschaulicht.

Die Graphen der Funktionen werden dazu in einem Koordinatenwürfel dargestellt.
Eine veränderte Funktionsgleichung tragen Sie evtl. unter F(X,Y) = ein und quittieren mit dem Schalter Zeichnen.

Die Lage der Koordinatenachsen und damit die Ansicht der Funktion können Sie durch Änderung der Werte x-Winkel und z-Winkel erreichen. Außerdem können Sie mit einem linken Mausklick auf die Darstellung und das Bewegen der Maus, die Lage des Würfels beeinflussen. Die Größe der Darstellung ist ebenfalls veränderbar.

Die Intervallgrößen der drei Koordinatenachsen tragen Sie in die entsprechenden Eingabezeilen ein. Die Farbe des Funktionsgraphen kann durch Klick auf einen der Menüpunkte Darstellung | Farbe 1 bzw. Darstellung | Farbe 2 oder die farbigen Rechtecke verändert werden. Ausgewählt wird die Farbe nach der Größe des Funktionswertes f(x,y).
Zusätzlich kann die Farbe durch den der Wert Abstufung verändert werden.

Mittels Schalter Simulation starten und stoppen Sie eine Simulation, bei der der Koordinatenwürfel kontinuierlich wahlweise um die x- oder z-Achse gedreht wird. Damit können Sie die Anschaulichkeit erhöhen.

Flächenfunktionen können in ihrer Funktionsgleichung einen Parameter Q enthalten. Dessen Wert können Sie an einem weiteren Rollbalken ändern.

Zusätzlich besteht auch die Möglichkeit, Q während der Simulation kontinuierlich im Intervall [-10 ; 10] ändern zu lassen. Das Programm zeichnet jeweils die Funktion und demonstriert so den Einfluss des Parameters Q. Die Geschwindigkeit der Änderung von Q kann an dem Rollbalken links vom Eintrag Q = verändert werden. Ein kleiner Wert verlangsamt die Änderung, ein hoher beschleunigt die Darstellung.

Wertetabelle einer Flächenfunktion

Im unteren Teil des Ausgangs-Programmfensters haben Sie die Möglichkeit, eine Wertetabelle der Funktion zu berechnen.

Da die Funktion zwei Argumente x und y besitzt, muss zur besseren Darstellung in einer Tabelle ein Argument fest eingegeben werden. Tragen Sie dazu in die Felder X = vier verschiedene reelle Werte ein. Nach Betätigung des Schalters Berechnung erhalten Sie dann für alle reellen y, deren Grenzen und Schrittweite unter Berechnung von bis festgelegt wurden, die Funktionswerte.

Partielle Ableitungen

Klicken Sie auf einen der Schalter df/dx , df/dy , d²f/dxy , d²f/dxx oder d²f/dxy so ermittelt das Programm die partiellen Ableitungen nach x bzw. y. Mit dem zusätzlichen Schalter Darstellung wird die Ableitung grafisch dargestellt.