Zahlenlexikon

„Es ist genau so, als frage man, warum Beethovens Neunte so schön ist. Wenn Sie nicht sehen warum, dann kann es ihnen auch niemand erklären. Ich weiß, dass Zahlen wunderschön sind.
Wenn Sie es nicht sind, dann ist nichts schön.“
Paul Erdös

Die Zahl ist ein grundlegender Begriff der Mathematik.
Der abstrakte Zahlenbegriff ist das Ergebnis eines Jahrtausende langen Entwicklungsprozesses.
Die natürlichen Zahlen entstanden aus dem praktischen Bedürfnis, Gegenstände zu zählen. Sie bedeuten Anzahlen von Gegenständen, die zum Zählen in geeigneter Weise angeordnet und mit den Elementen einer bekannten anderen Menge verglichen wurden.
Das Zählen gehörte bereits zu den Bedürfnissen der Menschen auf einer sehr frühen Entwicklungsstufe. Die Zahlen, mit denen man zählen und abzählen kann, d.h. die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … sind folglich sehr alt.
Deshalb gehören Zahlwörter zu den ältesten Bestandteilen der Sprachen. Diese Zahlen im ursprünglichen Sinne, die sich ganz natürlich ergeben, sind die natürlichen Zahlen.

Auf den nachfolgenden Seiten werden interessante und merkwürdige Eigenschaften dieser natürlichen Zahlen vorgestellt.

Zahl 0

„In der Kulturgeschichte wird die Entdeckung der Null immer als eine der größten Leistungen der Menschheit herausragen“
Tobias Danzig, „Number, The language of science“

image001Die Ziffer 0 ermöglicht unser Stellenwertsystem.
Im Laufe der Geschichte wurde die Zahl Null dreimal erfunden: von den Babyloniern, den Mayas und zuletzt von den Indern.

Schon 200 v.u.Z. verwendeten indische Mathematiker für die Null einen Punkt als Leerzeichen. Dieses Zeichen wurde „shunya“ genannt und bedeutete „nichts“.
Im 5.Jahrhundert wurde in Indien für jede dezimale Stelle dieselbe Menge von 9 Ziffern verwendet. Dazu war es notwendig, für fehlende Werte auf einer bestimmten Zehnerpotenz ein neues Symbol zu verwenden, eine zehnte Ziffer, die Null.
Aryabhata benutzte um 500 ein positionales Zahlsystem ohne Null, jedoch für die Null das Wort „kha“.

Allgemein wird als erster gesicherter Beweis der Null als Zahl in Indien eine Steintafel aus dem Ort Gwalior 500 km südlich von Neu-Delhi mit den Daten 27.Dezember 786, 10.Januar 787 und 17.Januar 787 angesehen, die von einer Gartenanlage handelt, dessen Länge 270 (hastas) beträgt und 50 Blumengirlanden erhielt.

image004Die früheste, schriftlich nachweisbare Verwendung der Null findet sich in der Inschrift K.151 in dem Tempel Sambor Prei Kuk (Abbildung) in Kambodscha vom Anfang des 7.Jahrhunderts und berichtet von der Errichtung einer Götterstatue am 14. April 598.
Das hier benutzte Jahr der Saka-Ära ist 520, wobei die Null mit dem Begriff kha (Luftraum) wiedergegeben ist.
Der Tempel Sambor Prei Kuk befindet sich in der alten Stadt Isanapura. Sie wurde 615-625 von Isanavarman I. erbaut.
Isanapura war die Hauptstadt des Königreiches von Chenla, das hier im siebenten und achten Jahrhundert blühte. Die Ruinen bestehen aus über 150 Tempel und Türmen und bedecken ein Gebiet von über 300 Hektar. Es gibt drei Hauptkomplexe, die von Mauern umgeben waren. Die Tempelbauten sind reich mit Reliefs dekoriert.

Im 9.Jahrhundert lernten arabische Mathematiker die Null kennen und bezeichneten sie mit „sifr“, was wörtlich übersetzt „leer“ bedeutet.
Aus „sifr“ entwickelte sich das Wort „Ziffer“. Fibonacci nannte im 12.Jahrhundert die Null italienisch „zefiro“, kurz „zero“, was ebenfalls „leer“ kennzeichnet. In Latein entspricht dies „nullus“.

In Europa tat man sich schwer mit einer Zahl die gar keine Zahl ist, sondern das Nichts beziffert, gleichzeitig aber jede vor ihr stehende Zahl verzehnfacht. Es dauerte lange bis die Rechenlehrer der frühen Neuzeit dem Volk den hohen Wert dieser „wertlosen“ Zahl nahe bringen konnten.
Europa teilt sich heute in eine zero-Region und eine nullus-Region.

Zero oder eine einfache Veränderung wird im Englischen (zero), Catalanischen, Französischen (zéro), Portugiesischen (zero), Rumänischen (zero), Spanischen (cero), Wallonischen (zérô), Albanischen, Polnischen (zero), Japanischen, usw… verwendet.
Die nullus-Region besteht aus den deutschsprachigen Ländern, Skandinavien und einigen Ländern mit slawischer Sprache, z.B. Latein (nullus), Bulgarisch (nula), Dänisch (nul), Finnisch (nolla), Niederländisch (nul), Isländisch (núll), Tschechisch (nula), Russisch (nul), Schwedisch (noll), Slowakisch (nula) …
Im Griechischen wird u.a. mhden genutzt, was ursprünglich „nichts“ darstellte.

Auch im 21.Jahrhundert wird die Null noch immer von der Mehrzahl der Menschen als unnatürlich angesehen. Dabei ist das Zählen mit Null ist unserer Kultur nicht fremd.

Der Gedanke, den ersten Tag des Monats als den Tag Null zu bezeichnen, wäre ungewöhnlich. Allerdings wird dieses Prinzip bei den Stunden eines Tages tatsächlich angewendet wird:
Ruft man um Mitternacht die Zeitansage an, so hört man nämlich tatsächlich „Beim nächsten Ton des Zeitzeichens ist es: null Uhr, null Minuten und zehn Sekunden.“ Die Stunden-, Minuten und Sekundenzählung beginnt bei Null und vereinfacht so auch viele Rechnungen.

Bei Bläsern und teilweise Gitarristen ist im Fingersatz der Daumen „0“, der Zeigefinger „1“ usw. Damit ist das Beginnen mit Null selbst beim Abzählen der Finger unserer Kultur nicht ganz fremd. Bei Saiteninstrumenten bezeichnet die „0“ auch eine nichtgegriffene Saite.

Manchmal wird die Auffassung vertreten, die Null sei ja gar keine „richtige Zahl“. Solche Auffassungen hängen von der Kultur ab, in der man lebt. Tatsächlich war für die alten Griechen die Eins keine Zahl, sondern die Einheit, aus der alle Zahlen konstruiert werden konnten. Es ist also nur eine Gewohnheitssache.

Mathematische Eigenschaften:
Die Null ist das neutrale Element der Addition im Primring der ganzen Zahlen sowie seiner Erweiterungsringe, d.h. die additive Einheit und somit a + 0 = 0 + a = 0.
Die Null ist die erste Catalan-Zahl. Die Null ist auch die einzige komplexe Zahl, die sowohl reell als auch rein imaginär ist.

Im Allgemeinen werden heute die Axiome der natürlichen Zahlen von Peano (1891) angegeben durch:
1. 0 ist eine natürliche Zahl
2. Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n‘
3. 0 ist nicht Nachfolger einer Zahl
4. Jede Zahl ist Nachfolger höchstens einer Zahl
5. (Induktionsaxiom) Von allen Mengen, die die Zahl 0 und mit der Zahl n auch deren Nachfolger n‘ enthalten, ist die Menge N der natürlichen Zahlen die kleinste.

Allerdings sah Peano selbst die 0 nicht als natürliche Zahl. Auf Grund der Entwicklung der Algebra (Gruppen- und Ringtheorie) wird die Null heute zu den natürlichen Zahlen gezählt. Andersartige, immer wieder vorkommende, Veröffentlichungen sind algebraisch nicht begründbar.
Nach dem Werk „Assiomi di Peano“ [da Peano G., Formulario Mathematico, Fratelli Bocca {indicato sul frontespizio come Fratres Bocca} Editore, Torino 1908, pag. 21]) soll Peano „Zero es numero“ formuliert haben.
Bis heute konnte nicht geklärt werden, ob die Null für Peano vielleicht doch die erste natürliche Zahl war.

In dem für die Mathematik fundamentalen Werk „Moderne Algebra“ nennt van der Waerden als erstes Axiom:
1. 1 ist eine natürliche Zahl
und schließt die Null damit aus.

Die Null wird in verschiedenen Sprachen zur Charakterisierung besonderer Umstände genutzt. Im Deutschen bedeutet „Null Komma nichts“ umgangssprachlich absolut nichts.
Im Italienischen wird „a chilometri zero“ (in Null Kilometer Abstand) für „lokal“ verwendet. Zum Beispiel bedeutet „un gelato a chilometri zero“ ein „Eis aus lokaler Produktion“.
Im Taoismus ist „wuji“, die Zahl 0, das mystische Symbol für das Chaos, den Anfang und das Ende.

Zahl 3

Die Dreiteilung eines Winkels war eines der drei klassischen Probleme der Antike, neben der Quadratur des Kreises und der Verdopplung des Würfels. Es gibt drei Parkettierungen der Ebene durch regelmäßige Vielecke: das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Sechseck der Bienenwaben.

Drei teilt alle Zahlen, die um eins kleiner sind als eine Potenz von zehn, auch, wenn die aus ihren Ziffern gebildete Quersumme durch drei teilbar ist. Jede genügend große ungerade Zahl ist die Summe von höchstens drei Primzahlen. 3 ist 1!+2!. Das kleinste magische Quadrat hat die Kantenlänge 3.
3 ist die höchste Zahl in der Sprache des Yankos-Stammes am Amazonas: „Poettarrarorincoaroac“.
Die Erde ist der dritte Planet in unserem Sonnensystem.

In der christlichen Mythologie ist die 3 eine der wichtigsten Zahlen überhaupt, insbesondere im Blick auf die Dreieinigkeit Gottes. Während Halos auf mittelalterlichen Gemälden meist kreisförmig sind, wird das Dreieck daher ausschließlich für Gott verwendet.

Weiterhin findet man in der Bibel den dreifachen Segen des Aaron (Num 6,24-26), die Dreizahl der hohen Feste (Ex 23,24), die Dreimaligkeit des täglichen Gebets (Dan 6,11), im dreifachen Opfer, aber auch die Heiligen Drei Könige (Matth 2,1), die drei Jünger Petrus, Jakobus und Johannes (Mt 26,37-45), die dreifache Verleugnung Jesu durch Petrus (Joh 13,38), usw. Allerdings wurde Jesus auch dreimal vom Teufel versucht (Mt 4,1-11). Das Tier in der Apokalypse ist dreigestaltig. Die Dreigestaltigkeit findet sich auch in den Begriffen: Mann, Frau und Kind; Beginn, Mitte und Ende; Geburt, Leben und Tod.

Die frühere Anschauung der Vollkommenheit der 3 zeigt sich auch in dem Sprichwort „Aller guten Dinge sind Drei“. Auch in Märchen findet sich die 3: z.B. drei Wünsche, die man frei hat, drei Mordversuche an Schneewittchen, drei Prüfungen für die Goldmarie, Zaubersprüche müssen dreimal aufgesagt werden, drei Besuche von Rumpelstilzchen, drei Schwestern in Aschenputtel (von denen aber nur eine fleißig ist), die Märchen von den 3 kleinen Schweinchen oder vom „Teufel mit den drei goldenen Haaren“, am „dritten Brünnlein“ wird das Brüderchen zum Reh, usw.
3 Personen werden auch gern als Comic-Helden genommen, z.B. Tick, Trick und Track in den „Duck-Tales“, Dig, Dag und Digedag im „Mosaik“ oder Colt, Rocky und Tum Tum, die 3 Ninjas.

Durch Plato werden in „Republik“ drei Schicksale beschrieben, die Parzen oder Töchter der Notwendigkeit. Diese teilten allen Menschen bei der Geburt ihren Anteil an Glück und Unglück zu.
In der Kunst werden sie als strenge alte Frauen oder als düstere Jungfrauen dargestellt. Klotho, die Spinnerin, flocht den Lebensfaden. Lachesis, die Lose-Zuteilerin, maß ihn und wies jedem Menschen sein Schicksal zu. Atropos, die Unabwendbare, trug die furchtbare Schere, mit der sie den Lebensfaden zur gegebenen Zeit abschnitt. Die Entscheidungen der Parzen konnten nicht geändert werden, selbst von den Göttern nicht.

In der griechischen Mythologie kennt man auch drei Sirenen, die u.a. Odyseus auf seiner Irrfahrt traf. In Shakespeares Macbeth treten drei Hexen auf.
Man kennt auch die 3 Furien. In der griechischen Mythologie werden sie die Erinyen genannt (griech: ErinueV). Die Erinyen sind eine Gruppe von Rachegöttinnen des Mutterrechts: Alekto, „die Unaufhörliche“, Megaira, „der neidische Zorn“ und Tisiphone, „die Vergeltung“.

Ebenso bekannt ist das Urteil des Paris, der von den Göttinnen Hera, Athene und Aphrodite die schönste wählen sollte; mit einem schrecklichen Ende für Troja.
Prometheus („der vorher Denkende“) warnte seinen Bruder Epimetheus („der hinterher Denkende“). Dennoch nahm dieser Pandora zur Frau. Diese öffnete ihre Brüchse und zwei der drei Dinge wurden frei, Elend und Krankheit. Nur die Hoffnung blieb in der Büchse.

Captain Kirk und Spock spielten in Star Trek 3 Partien Schach und Kirk gewann alle! Zu einer Skat-Partie gehören mindestens 3 Spieler.
Nicola Tesla war von der 3 absolut fasziniert. Er umrundete jedes Gebäude erst dreimal, bevor er es betrat.
Oktopusse haben 3 Herzen. Skat wird mit mindestens 3 Personen gespielt.

Der Satz von Winogradow sagt aus, dass jede hinreichend große ungerade Zahl die Summe von 3 Primzahlen ist.
Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan (1887-1920) fand die Beziehung √(1 + √(1 + 2 √(1 + 3 √(1 + 4 √(1 + …))))) = 3.

Besitzt Weiß auf einem Schachbrett alle Figuren in Ausgangsstellung und Schwarz nur den König auf h4, dann benötigt Weiß nur 3 Züge bis zum Matt. siehe 337.Schachproblem im »Problemschach
Die möglichen Zugfolgen sind
d2-d4 , Kh4-g4 , e2-e4 , Kg4-h4 , g2-g3 Matt
d2-d4 , Kh4-h5 , Dd1-d3 , Kh5-g4 , Dd3-h3 Matt
d2-d4 , Kh4-h5 , Dd1-d3 , Kh5-h4 , Dd3-h3 Matt
Steht der einzelne schwarze König auf den Feldern h5, h6 oder g4, so benötigt man 6 Züge zum Matt (Schachprobleme 338 bis 340).
3 ist die Anzahl der Primärfarben (Rot, Grün, Blau) ud ebenso die Anzahl der Grundfarben bei subtraktiver Farbmischung (Cyan, Magenta, Gelb).

Die Zahl 3 als Wertstufe einer Banknote ist ziemlich selten. Zu finden ist sie aber auf der kubanischen 3-Peso-Note mit dem Bildnis von Ernesto Che Guevara.

Abbildung: kubanische 3-Peso-Note

In Dimensionen ab der 5. existieren immer nur genau 3 regelmäßige Polytope. In der Farbenlehre werden 3 additive Farben (rot, grün, blau) und 3 subtraktive Farben (cyan, magenta, gelb) betrachtet.
NUMB3RS ist die erfolgreichste US-amerikanische Fernsehserie, in der Mathematiker Hauptrollen spielen.
weitere Eigenschaften der „3“ siehe http://primes.utm.edu/curios/page.php/3.html .