Primzahlvierlinge

Haben vier aufeinanderfolgende Primzahlen die Abstände 2, 4 und 2, d.h.

    \[ p, p+2, p+6 \text{ und } p+8 \]

sind Primzahlen, so heißen diese Primzahlvierlinge.
Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (5, 7, 11, 13). Alle anderen Vierlinge befinden sich innerhalb eines „Zehners“, z.B. (101, 103, 107, 109).

Die ersten Primzahlvierlinge p, p+2, p+6, p+8 findet man für
p = 5, 11, 101, 191, 821, 1481, 1871, 2081, 3251, 3461, 5651, 9431, 13001, 15641, 15731, 16061, 18041, 18911, 19421, 21011, 22271, 25301, 31721, 34841, 43781, 51341, 55331, 62981, 67211, 69491, 72221, 77261, 79691, 81041, 82721, 88811, 97841, 99131, …

Die Summe der reziproken Primzahlvierlinge konvergiert gegen die Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge B4 = 0,8705883800 ± 0,0000000005. Dennoch ist heute (2017) noch nicht klar, ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt oder nicht.

Primzahlvierlinge bestehen aus zwei Primzahlzwillingspaaren im Abstand 4, d.h. aus vier Primzahlen der Form p, p+2, p+6, p+8. Die Zahl, die genau in der Mitte liegt, ist immer durch 15 teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch 60 teilbar.

Daher lässt sich jedes Quadrupel auch in der Form (15n-4, 15n-2, 15n+2, 15n+4) schreiben; Ausnahme das kleinste Quadrupel (5, 7, 11, 13).

In „The On-Line Encyclopedia of integer sequences“ von N. J. A. Sloane findet man weitere interessante Informationen zu Primzahlvierlingen (engl. prime quadruples).

Die Tabelle enthält die gegenwärtig größten bekannten Vierlinge, deren Ziffernzahl und deren Entdecker:

Ziffern Vierlinge Entdecker
5003 4122429552750669·216567 -1,1,5,7 Keiser 2016
3598 2673092556681·153048 -4,-2,2,4 Metcalfe 2015
3503 2339662057597·103490 +1,3,7,9 Batalov 2013
3443 305136484659·211399 -1,1,5,7 Batalov 2013
3360 722047383902589·211111 + -1,1,5,7 Keiser 2013
3024 43697976428649·29999 + -1,1,5,7 Kaiser 2012
2500 46359065729523·28258 + -1,1,5,7 Keiser 2011
2401 1367848532291·5591#/35 + -1,1,5,7 Luhn 2011
2135 25796119248·4987#/35 + -1,1,5,7 Chaffey 2011
2058 4104082046·4800# + 5651 + 0,2,6,8 Luhn 2005
2000 101999 +205076414983951 +0,2,6,8 Lamprecht 2017

Zwei aufeinanderfolgende Primzahlvierlinge (p, p+2, p+6, p+8) und (q, q+2, q+6, q+8) können den minimalen Abstand q-p = 30 haben. Zwei derartige Vierlinge bilden einen Primzahlachter. Ein Primzahlvierling (p, p+2, p+6, p+8) besteht aus zwei Primzahlzwillingen (p, p+2) und (p+6, p+8).

Suche nach Primzahlvierlingen

Seit einiger Zeit wird nach den jeweils kleinsten Primzahlvierlingen der n-stelligen natürlichen Zahlen gesucht.

n-stellige Primzahlvierlinge
Wachstum der Summanden a der Primzahlvierlinge

In der Liste wird der jeweils kleinste Summand a angegeben, so dass die vier n-stelligen natürlichen Zahlen

    \[ 10^{n-1}+a, 10^{n-1}+a+2, 10^{n-1}+a+6, 10^{n-1}+a+8 \]

einen Primzahlvierling bilden.

Der größte für den Bereich n \in \{1,...,1000\} gefundene, kleinste n-stellige Primzahlvierling hat 1000 Stellen und wurde von Norman Luhn schon 2004 sowie erneut 2017 von Gerd Lamprecht ermittelt und beginnt mit

    \[ 10^{999}+4114571944591 \]

Für den ab

    \[ 10^{1999} + 205076414983951 \]

beginnenden 2000stelligen Vierling wurde der größte Summand 205076414983951 von Gerd Lamprecht (2017) berechnet. Dieser Vierling ist auch der größte bekannte kleinste n-stellige Primzahlvierling.

Primzahlzertifikate

Rechts stehen die PRIMO-Primzahlzertifikate für die vier 2000stelligen Zahlen des Vierlings zum Download bereit (Luhn 2017).

Der Dank für die sehr große Unterstützung bei der Suche nach den Vierlingen geht an:

Norman Luhn, Kitaktus, Horst_H, Primentus, Falk Hänel, Amateur, Michael Schreiber, Gerd Lamprecht und Wolfgang Ehrhardt

Durch Primentus wurden Näherungsbeziehungen ermittelt.
Ist s ist die Stellenanzahl des Summanden a von 10^{n-1}+a, so ist dies erstmals für

    \[ n = firstSdigit(s)\approx 0.38628\cdot 1.72373^{s} \]

zu erwarten.
Umgekehrt hat der Summand a näherungsweise die Ziffernzahl s für die Stellenzahl n der Vierlinge:

    \[ s=digits(n)\approx 0.876196+0.895468\cdot ln(-6.58493+0.876531\cdot n^{2}) \]