Primzahlvierlinge

Haben vier aufeinanderfolgende Primzahlen die Abstände 2, 4 und 2, d.h.

    \[ p, p+2, p+6 \text{ und } p+8 \]

sind Primzahlen, so heißen diese Primzahlvierlinge.
Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (5, 7, 11, 13). Alle anderen Vierlinge befinden sich innerhalb eines „Zehners“, z.B. (101, 103, 107, 109).

Die ersten Primzahlvierlinge p, p+2, p+6, p+8 findet man für
p = 5, 11, 101, 191, 821, 1481, 1871, 2081, 3251, 3461, 5651, 9431, 13001, 15641, 15731, 16061, 18041, 18911, 19421, 21011, 22271, 25301, 31721, 34841, 43781, 51341, 55331, 62981, 67211, 69491, 72221, 77261, 79691, 81041, 82721, 88811, 97841, 99131, …

Die Summe der reziproken Primzahlvierlinge konvergiert gegen die Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge B4 = 0,8705883800 ± 0,0000000005. Dennoch ist heute (2017) noch nicht klar, ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt oder nicht.

Primzahlvierlinge bestehen aus zwei Primzahlzwillingspaaren im Abstand 4, d.h. aus vier Primzahlen der Form p, p+2, p+6, p+8. Die Zahl, die genau in der Mitte liegt, ist immer durch 15 teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch 60 teilbar.

Daher lässt sich jedes Quadrupel auch in der Form (15n-4, 15n-2, 15n+2, 15n+4) schreiben; Ausnahme das kleinste Quadrupel (5, 7, 11, 13).

In „The On-Line Encyclopedia of integer sequences“ von N. J. A. Sloane findet man weitere interessante Informationen zu Primzahlvierlingen (engl. prime quadruples).

Die Tabelle enthält die gegenwärtig größten bekannten Vierlinge, deren Ziffernzahl und deren Entdecker:

Ziffern Vierlinge Entdecker
5003 4122429552750669·216567 -1,1,5,7 Keiser 2016
3598 2673092556681·153048 -4,-2,2,4 Metcalfe 2015
3503 2339662057597·103490 +1,3,7,9 Batalov 2013
3443 305136484659·211399 -1,1,5,7 Batalov 2013
3360 722047383902589·211111 + -1,1,5,7 Keiser 2013
3024 43697976428649·29999 + -1,1,5,7 Kaiser 2012
2500 46359065729523·28258 + -1,1,5,7 Keiser 2011
2401 1367848532291·5591#/35 + -1,1,5,7 Luhn 2011
2135 25796119248·4987#/35 + -1,1,5,7 Chaffey 2011
2058 4104082046·4800# + 5651 + 0,2,6,8 Luhn 2005

Zwei aufeinanderfolgende Primzahlvierlinge (p, p+2, p+6, p+8) und (q, q+2, q+6, q+8) können den minimalen Abstand q-p = 30 haben. Zwei derartige Vierlinge bilden einen Primzahlachter.

Suche nach Primzahlvierlingen

Seit einiger Zeit wird nach den jeweils kleinsten Primzahlvierlingen der n-stelligen natürlichen Zahlen gesucht.

n-stellige Primzahlvierlinge
Wachstum der Summanden a der Primzahlvierlinge

In der Liste wird der jeweils kleinste Summand a angegeben, so dass die vier n-stelligen natürlichen Zahlen

    \[ 10^{n-1}+a, 10^{n-1}+a+2, 10^{n-1}+a+6, 10^{n-1}+a+8 \]

einen Primzahlvierling bilden.

Der größte bisher gefundene, kleinste n-stellige Primzahlvierling hat 1000 Stellen und wurde von Norman Luhn (2004) sowie Gerd Lamprecht (2017) ermittelt und beginnt mit

    \[ 10^{999}+4114571944591 \]

Für den ab 10984 + 16047491738881 (Norman Luhn 2017) beginnenden 985stelligen Vierling wurde der bisher größte Summand 16047491738881 berechnet.

Ein Danke für die sehr große Unterstützung bei der Suche geht an:
Norman Luhn, Kitaktus, Horst_H, Primentus, Falk Hänel, Amateur, Michael Schreiber, Gerd Lamprecht und Wolfgang Ehrhardt

Teilnahme an der Primzahlvierlingssuche

Interessenten können sich an der Suche nach kleinsten n-stelligen Primzahlvierlingen beteiligen.
Laden Sie dazu das nachfolgende Programm herunter. Grundlage für dieses Programm ist die sehr schnelle Arithmetik für lange Zahlen mp_arith von Wolfgang Ehrhardt.

Suche nach Primzahlvierlingen (64 bit-Exe)
Suche nach Primzahlvierlingen (32 bit-Exe, langsam)
Lazarus-Quelltext

Nach dem Erststart des Programms müssen Sie Aufgaben zur Suchliste hinzufügen.
Tragen Sie dazu unter Suche ab … Stellen eine Zahl ein sowie unter von und bis die Grenzen des Suchintervalls für den Summanden. Beachten Sie bitte, dass die Grenzen in Milliarden eingetragen werden.
Die Aufgabe fügen Sie in die Suchliste mit dem Schalter Aufgabe hinzufügen ein.

Im Moment sind alle Stellenzahlen bis 620 entweder berechnet oder in der laufenden Berechnung. In der oben aufrufbaren Liste sind alle schon berechneten Werte einsehbar. Sie sollten eine andere Stellenzahl wählen.

Nach der Festlegung der Aufgaben können Sie die Suche starten. Das Programm sucht nun nach den Startzahlen der n-stelligen Vierlinge.
Nach der eingestellten Suchzeit in min wird die nächste Aufgabe berechnet, d.h. je Zahl wird nur eine gewisse Zeit genutzt. Wurden alle Suchzahlen schon einmal gerechnet, beginnt das Programm wieder von vorn; solange bis für den ganzen Suchbereich Primzahlvierlinge ermittelt wurden.
Überschreiten Sie die als Maximum eingegebene Grenze, wird diese Aufgabe als erledigt aus der Suchliste entfernt.

Die Suche kann jederzeit abgebrochen und zu einem späteren Zeitpunkt wieder aufgenommen werden, da Zwischenergebnisse gespeichert werden.

Sollten Sie Primzahlvierlinge gefunden haben, wäre es schön, wenn Sie diese über die Kontaktmöglichkeit zum Autor übermitteln würden. Bitte geben Sie Ihren Namen oder einen Nickname an, so dass Sie als Entdecker der Vierlinge gewürdigt werden können.
Danke!