Primzahlzwillinge

Gilt für zwei aufeinanderfolgende Primzahlen p1 und p2

p1 + 2 = p2

so heißen diese Primzahlzwillinge.
Das kleinste Paar von Primzahlzwllingen ist (3 ; 5). Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist heute (2017) noch nicht sicher. Der Begriff „Primzahlzwilling“ wurde erstmals von Paul Stäckel genutzt.

Die ersten Primzahlzwillinge sind:
(3 | 5), (5 | 7), (11 | 13), (17 | 19), (29 | 31), (41 | 43), (59 | 61), (71 | 73), (101 | 103), (107 | 109), (137 | 139), (149 | 151), (179 | 181), (191 | 193), (197 | 199), …

Sind (p, q) Primzahlzwillinge, dann ist p von der Form 6n-1 und q von der Form 6n+1. Daraus ergibt sich, dass

p · q+1 = 36n² = k²

eine durch 36 teilbare Quadratzahl ist.
Berühmt wurden die Primzahlzwillinge als Nicely 1995 den Arithmetik-Fehler im Intel-Pentium-Prozessor bei der Berechnung der Reziproken des Primzahlzwillings 824633702441 und 824633702443 entdeckte.

Die gegenwärtig größten bekannten Primzahlzwillinge p, p+2 beginnen ab (Quelle: http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1)

p Ziffern
1 2996863034895 · 21290000 – 1 388342
2 3756801695685 · 2666669 – 1 200700
3 65516468355 · 2333333 – 1 100355
4 12770275971 · 2222225 – 1 66907
5 70965694293 · 2200006 – 1 60219
6 66444866235 · 2200003 – 1 60218
7 4884940623 · 2198800 – 1 59855
8 2003663613 · 2195000 – 1 58711
9 38529154785 · 2173250 – 1 52165
10 194772106074315 · 2171960 – 1 51780

Während die Summe der reziproken Primzahlen divergiert, konvergiert die Summe der reziproken Primzahlzwillinge gegen die Brun-Konstante B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + ….
Aus dieser Tatsache kann man allerdings nicht schließen, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Durch Sebah wurden 2002 alle Primzahlzwilinge bis 1016 und die Summe deren Reziproken bestimmt. Danach ist die Brun-Konstante B = 1,902160583104…

Kleinste n-stellige Primzahlzwillinge

Seit einiger Zeit wird nach den jeweils kleinsten Primzahlzwillingen der n-stelligen natürlichen Zahlen gesucht.

n-stellige Primzahlzwillinge
Wachstum der Summanden a der Primzahlzwillinge

In der Liste wird der jeweils kleinste Summand a angegeben, so dass die zwei n-stelligen natürlichen Zahlen

10n-1+a, 10n-1+a+2

einen Primzahlzwilling bilden.
Der größte bisher gefundene, kleinste n-stellige Primzahlzwilling hat 1118 Stellen und beginnt mit 101117 +18142789.