Primzahlzwillinge

Gilt für zwei aufeinanderfolgende Primzahlen p1 und p2

p1 + 2 = p2

so heißen diese Primzahlzwillinge.
Das kleinste Paar von Primzahlzwllingen ist (3 ; 5). Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist heute (2017) noch nicht sicher. Der Begriff „Primzahlzwilling“ wurde erstmals von Paul Stäckel genutzt.

Die ersten Primzahlzwillinge sind:
(3 | 5), (5 | 7), (11 | 13), (17 | 19), (29 | 31), (41 | 43), (59 | 61), (71 | 73), (101 | 103), (107 | 109), (137 | 139), (149 | 151), (179 | 181), (191 | 193), (197 | 199), …

Sind (p, q) Primzahlzwillinge, dann ist p von der Form 6n-1 und q von der Form 6n+1. Daraus ergibt sich, dass

p · q+1 = 36n² = k²

eine durch 36 teilbare Quadratzahl ist.
Berühmt wurden die Primzahlzwillinge als Nicely 1995 den Arithmetik-Fehler im Intel-Pentium-Prozessor bei der Berechnung der Reziproken des Primzahlzwillings 824633702441 und 824633702443 entdeckte.

Die gegenwärtig größten bekannten Primzahlzwillinge p, p+2 beginnen ab (Quelle: http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1)

p Ziffern
1 2996863034895 · 21290000 – 1 388342
2 3756801695685 · 2666669 – 1 200700
3 65516468355 · 2333333 – 1 100355
4 12770275971 · 2222225 – 1 66907
5 70965694293 · 2200006 – 1 60219
6 66444866235 · 2200003 – 1 60218
7 4884940623 · 2198800 – 1 59855
8 2003663613 · 2195000 – 1 58711
9 38529154785 · 2173250 – 1 52165
10 194772106074315 · 2171960 – 1 51780

Während die Summe der reziproken Primzahlen divergiert, konvergiert die Summe der reziproken Primzahlzwillinge gegen die Brun-Konstante B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + ….
Aus dieser Tatsache kann man allerdings nicht schließen, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Durch Sebah wurden 2002 alle Primzahlzwillinge bis 1016 und die Summe deren Reziproken bestimmt. Danach ist die Brun-Konstante B = 1,902160583104…

Kleinste n-stellige Primzahlzwillinge

Seit einiger Zeit wird nach den jeweils kleinsten Primzahlzwillingen der n-stelligen natürlichen Zahlen gesucht.

n-stellige Primzahlzwillinge Anzeigen
Wachstum der Summanden a der Primzahlzwillinge Anzeigen

In der Liste wird der jeweils kleinste Summand a angegeben, so dass die zwei n-stelligen natürlichen Zahlen

10n-1+a, 10n-1+a+2

einen Primzahlzwilling bilden.
Der größte bisher gefundene, kleinste n-stellige Primzahlzwilling hat 1118 Stellen und beginnt mit 101117 +18142789.

Primzahl-Sextupel

Ein Primzahl-Sextupel (engl. prime sextuplet) sind 6 aufeinanderfolgende Primzahlen der Form

{p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16}

Ein Primzahl-Sextupel besteht zwei Primzahlzwillingen, einem Primzahlvierling, vier sich überlappenden Primzahltripeln und zwei überlappenden Primzahl-Quintupeln.
Heute (2017) ist nicht bekannt ob es unendliche viele prime Sextupel gibt.

Die kleinsten derartigen Sextupel sind: {7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793}

Durch Norman Luhn wurden die ersten, kleinsten n-stelligen primen Sextupel berechnet:

kleinste n-stellige Primzahl-Sextupel (TXT) Anzeigen

In der Liste wird der jeweils kleinste Summand a angegeben, so dass die sechs n-stelligen natürlichen Zahlen

10n-1+a, 10n-1+a+4, 10n-1+a+6, 10n-1+a+10, 10n-1+a+12, 10n-1+a+16

ein Primzahl-Sextupel bilden.

Primzahlachter

Ein Primzahlvierling ist ein Quadrupel von 4 unmittelbar aufeinanderfolgenden Primzahlen, d.h. mit dem Abstand 2, 4 und 2 zueinander.
Zwei Primzahlvierlinge p, p+2, p+6, p+8 und q, q+2, q+6, a+8 können den minimalen Abstand q-p von 30 besitzen.

Damit besteht ein Primzahlachter aus 8 Primzahlen der Form p, p+2, p+6, p+8, p+30, p+32, p+36 und p+38. Zwischen den zwei Primzahlen p+8 und p+30 können weitere Primzahlen auftreten, was aber für den Achter unerheblich ist.

Die ersten Achter sind zu finden ab
p = 1006301, 2594951, 3919211, 9600551, 10531061, 108816311, 131445701, 152370731, 157131641, 179028761, 211950251, 255352211, 267587861, 557458631, 685124351, 724491371, 821357651, 871411361, 1030262081, …

Für steigende Stellenzahl nimmt die Wahrscheinlichkeit für derartige Achter schnell ab.

Die nachfolgende Tabelle enthält die erste Primzahl eines kleinsten Primzahlachters der n-stelligen natürlichen Zahlen. In der Liste wird der jeweils kleinste Summand a angegeben, so dass die 8 Zahlen (n = Stellenzahl)

10n-1+a, 10n-1+a+2, 10n-1+a+6, 10n-1+a+8,
10n-1+a+30, 10n-1+a+32, 10n-1+a+36, 10n-1+a+38

einen Primzahlachter bilden. Für die Stellenzahl n bis 20 findet man:

n Summand a n Summand a
7 6301 8 531061
9 8816311 10 30262081
11 50723041 12 826471951
13 378004831 14 1691386381
15 264099031 16 9896602831
17 8469843751 18 13287072901
19 50095721341 20 22171879141

In der nachfolgenden Liste werden die jeweils kleinsten Summand a ab einer Stellenzahl n = 21 angegeben:

n-stellige Primzahlachter Anzeigen

Die Primzahlachter ab n = 32 wurden von Norman Luhn ermittelt. Ebenso gelang ihm die Ermittlung des kleinsten 100stelligen Primzahlachters:

1099 + 5294137569927811 +d  ; d = 0,2,6,8,30,32,36,38

Beachten Sie bitte:
Unter einem Primzahlachtling (siehe auch https://oeis.org/A065706) wird in der Fachliteratur ein 8-Tupel von Primzahlen der Form
p + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26
p + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26
p + 0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26
diskutiert. Die kleinsten p derartiger Achtlinge sind:

11, 17, 1277, 88793, 113147, 284723, 855713, 1146773, 2580647, 6560993, 15760091, 20737877, 25658441, 58208387, 69156533, 73373537, 74266253, 76170527, 93625991, 100658627, 134764997, 137943347, 165531257, 171958667 …

Andererseits betrachtet man auch Konstruktionen der Form: Primzahl-Zwilling + Primzahl-Vierling + Primzahl-Zwilling. Man findet die beiden benachbarten Zwillinge eines Vierlings symmetrisch angeordnet mit den Mittenabständen plus 15 bzw. minus 15.
Erste Vierlings-Mittenzahlen sind 663585, 10187925, 11495595, 18873525, 93956115, 180929715 …