Haben vier aufeinanderfolgende Primzahlen die Abstände 2, 4 und 2, d.h.
p, p+2, p+6 und p+8
sind Primzahlen, so heißen diese Primzahlvierlinge.
Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (5, 7, 11, 13). Alle anderen Vierlinge befinden sich innerhalb eines „Zehners“, z.B. (101, 103, 107, 109).
Die ersten Primzahlvierlinge p, p+2, p+6, p+8 findet man für
p = 5, 11, 101, 191, 821, 1481, 1871, 2081, 3251, 3461, 5651, 9431, 13001, 15641, 15731, 16061, 18041, 18911, 19421, 21011, 22271, 25301, 31721, 34841, 43781, 51341, 55331, 62981, 67211, 69491, 72221, 77261, 79691, 81041, 82721, 88811, 97841, 99131, …
Die Summe der reziproken Primzahlvierlinge konvergiert gegen die Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge B4 = 0,8705883800 ± 0,0000000005. Dennoch ist heute (2017) noch nicht klar, ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt oder nicht.
Primzahlvierlinge bestehen aus zwei Primzahlzwillingspaaren im Abstand 4, d.h. aus vier Primzahlen der Form p, p+2, p+6, p+8. Die Zahl, die genau in der Mitte liegt, ist immer durch 15 teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch 60 teilbar; mit Ausnahme von (5, 7, 11, 13).
Daher lässt sich jedes Quadrupel auch in der Form (15n-4, 15n-2, 15n+2, 15n+4) schreiben; Ausnahme das kleinste Quadrupel (5, 7, 11, 13).
In „The On-Line Encyclopedia of integer sequences“ von N. J. A. Sloane findet man weitere interessante Informationen zu Primzahlvierlingen (engl. prime quadruples).
Die Tabelle enthält einige der gegenwärtig größten bekannten Vierlinge, deren Ziffernzahl und deren Entdecker:
| Ziffern | Vierlinge | Entdecker |
| 10132 | 667674063382677 ·233608 -1,1,5,7 | Kaiser 2019 |
| 5003 | 4122429552750669 ·216567 -1,1,5,7 | Kaiser 2016 |
| 3598 | 2673092556681 ·153048 -4,-2,2,4 | Metcalfe 2015 |
| 3503 | 2339662057597 ·103490 +1,3,7,9 | Batalov 2013 |
| 3443 | 305136484659 ·211399 -1,1,5,7 | Batalov 2013 |
| 3360 | 722047383902589 ·211111 + -1,1,5,7 | Kaiser 2013 |
| 3024 | 43697976428649 ·29999 + -1,1,5,7 | Kaiser 2012 |
| 2500 | 46359065729523 ·28258 + -1,1,5,7 | Kaiser 2011 |
| 2401 | 1367848532291 ·5591#/35 + -1,1,5,7 | Luhn 2011 |
| 2135 | 25796119248 ·4987#/35 + -1,1,5,7 | Chaffey 2011 |
| 2058 | 4104082046 ·4800# + 5651 + 0,2,6,8 | Luhn 2005 |
| 2000 | 101999 + 205076414983951 +0,2,6,8 | Lamprecht 2017 |
Zwei aufeinanderfolgende Primzahlvierlinge (p, p+2, p+6, p+8) und (q, q+2, q+6, q+8) können den minimalen Abstand q-p = 30 haben. Zwei derartige Vierlinge bilden einen Primzahlachter. Ein Primzahlvierling (p, p+2, p+6, p+8) besteht aus zwei Primzahlzwillingen (p, p+2) und (p+6, p+8).
Suche nach Primzahlvierlingen
Seit einiger Zeit wird nach den jeweils kleinsten Primzahlvierlingen der n-stelligen natürlichen Zahlen gesucht.
In der Liste wird der jeweils kleinste Summand a angegeben, so dass die vier n-stelligen natürlichen Zahlen
10n-1 +a, 10n-1 +a+2, 10n-1 +a+6, 10n-1 +a+8
einen Primzahlvierling bilden.
Der größte für den Bereich n in {1,…,1000} gefundene, kleinste n-stellige Primzahlvierling hat 1000 Stellen und wurde von Norman Luhn schon 2004 sowie erneut 2017 von Gerd Lamprecht ermittelt und beginnt mit
10999 + 4114571944591
Für den ab
101999 + 205076414983951
beginnenden 2000stelligen Vierling wurde der größte Summand 205076414983951 von Gerd Lamprecht (2017) berechnet. Dieser Vierling ist auch der größte bekannte kleinste n-stellige Primzahlvierling.
Der Dank für die sehr große Unterstützung bei der Suche nach den Vierlingen geht an:
Norman Luhn, Kitaktus, Horst_H, Primentus, Falk Hänel, Amateur, Michael Schreiber, Gerd Lamprecht und Wolfgang Ehrhardt
Durch Primentus wurden Näherungsbeziehungen ermittelt.
Ist s ist die Stellenanzahl des Summanden a von 10n-1 +a, so ist dies erstmals für
n = firstSdigit(s) ≈ 0.38628 · 1.72373s
zu erwarten. Umgekehrt hat der Summand a näherungsweise die Ziffernzahl s für die Stellenzahl n der Vierlinge:
s = digits(n) ≈ 0.876196 + 0.895468 · ln(-6.58493 + 0.876531 n²)