Primzahlzwillinge

Gilt für zwei aufeinanderfolgende Primzahlen p1 und p2

    \[ p_1 + 2 = p_2 \]

so heißen diese Primzahlzwillinge.
Das kleinste Paar von Primzahlzwllingen ist (3 ; 5). Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist heute (2017) noch nicht sicher. Der Begriff „Primzahlzwilling“ wurde erstmals von Paul Stäckel genutzt.

Die ersten Primzahlzwillinge sind:
(3 | 5), (5 | 7), (11 | 13), (17 | 19), (29 | 31), (41 | 43), (59 | 61), (71 | 73), (101 | 103), (107 | 109), (137 | 139), (149 | 151), (179 | 181), (191 | 193), (197 | 199), …

Sind (p, q) Primzahlzwillinge, dann ist p von der Form 6n-1 und q von der Form 6n+1. Daraus ergibt sich, dass

    \[ p\cdot q+1 = 36n^2 = k^2 \]

eine durch 36 teilbare Quadratzahl ist.
Berühmt wurden die Primzahlzwillinge als Nicely 1995 den Arithmetik-Fehler im Intel-Pentium-Prozessor bei der Berechnung der Reziproken des Primzahlzwillings 824633702441 und 824633702443 entdeckte.

Die gegenwärtig größten bekannten Primzahlzwillinge p, p+2 beginnen ab (Quelle: http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1)

p Ziffern
1 2996863034895 · 21290000 – 1 388342
2 3756801695685 · 2666669 – 1 200700
3 65516468355 · 2333333 – 1 100355
4 12770275971 · 2222225 – 1 66907
5 70965694293 · 2200006 – 1 60219
6 66444866235 · 2200003 – 1 60218
7 4884940623 · 2198800 – 1 59855
8 2003663613 · 2195000 – 1 58711
9 38529154785 · 2173250 – 1 52165
10 194772106074315 · 2171960 – 1 51780

Nach einem Thereom von Hardy und Littlewoord ist die Anzahl von Primzahlzwillingen bis x

    \[ 2\Pi_{p>2} \frac{p(p-2)}{(p-1)²} \int_2^x\frac{dx}{(\log{x})^2} = 1.320323632 \int_2^x\frac{dx}{(\log{x})^2} \]

Die Konstante \Pi_2 = 0,66016185846869573927812110014... wird als Primzahlzwillingskonstante bezeichnet.

Während die Summe der reziproken Primzahlen divergiert, konvergiert die Summe der reziproken Primzahlzwillinge gegen die Brun-Konstante. Aus dieser Tatsache kann man allerdings nicht schließen, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

    \[ B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + … \]

Durch Sebah wurden 2002 alle Primzahlzwilinge bis 10^{16} und die Summe deren Reziproken bestimmt. Danach ist die Brun-Konstante

    \[ B = 1,902160583104... \]

Kleinste n-stellige Primzahlzwillinge

Seit einiger Zeit wird nach den jeweils kleinsten Primzahlzwillingen der n-stelligen natürlichen Zahlen gesucht.

n-stellige Primzahlzwillinge
Wachstum der Summanden a der Primzahlzwillinge

In der Liste wird der jeweils kleinste Summand a angegeben, so dass die zwei n-stelligen natürlichen Zahlen

    \[ 10^{n-1}+a, 10^{n-1}+a+2 \]

einen Primzahlzwilling bilden.
Der größte bisher gefundene, kleinste n-stellige Primzahlzwilling hat 1118 Stellen und beginnt mit

    \[ 10^{1117}+18142789 \]